INTRODUCCIÓN AL BLOG

Nuestro Blog tiene como fin distribuir  el contenido del aprendizaje  a cualquier persona en cualquier parte del mundo, y en este caso nuestra información es académica especificada en temas Matemáticos.

Y nos ayudará a nosotras como estudiantes de nivel superior a desarrollar actividades  de planificación, organización y de instrucción .

OBJETIVO GENERAL

Brindar información matemática del tema específico "Función de una Variable Real " a diferentes usuarios en todo el mundo, a través de este sitio web.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Conseguir una retroalimentación de los usuarios con el contenido publicado.
• Distribuir nuestro contenido facilitando la mayor información posible.

IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS DENTRO DE LA CARRERA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS:

Las matemáticas se basa en realizar un análisis matemático de la realidad que se quiere estudiar  e interpretar. Gran parte de la actividad matemáticas puede reflejarse con una actividad del dia a dia .Es  por esto que dentro de la carrera de administración de empresas es más que influyente las matemáticas,ya que es aplicada como herramienta de trabajo y servicio para la resolución de los problemas de esta especialización y para proyectarse en un futuro dentro de una empresa que requiera no solo un trabajador capaz sino también eficaz en el momento de dar solución a los problemas dados.

IMPORTANCIA DE LAS MATEMÁTICAS DENTRO DE LA CARRERA DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA :

Las funciones de una variables real nos servirán en la gestión de la distribución de la riqueza y los recursos sociales entre las variables económicas de cuanto ha subido o ha bajado cada año los problemas administrativos de una empresa en general ya que como es publica se ubica en un plano para tener en cuenta todos los problemas colectivos.

La importancia de la matemática financiera radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las finanzas publicas, ya que le permiten al administrador publico tomar decisiones de forma rápida y acertada. Asimismo, es la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo.

AUTORES:

María Fernanda Correa López

Mariuxi Castillo (Ambas estudiantes de la carrera de Administración Pública  )

Katherine González Reyes ( Estudiante de la carrera de Administración de                                                Empresas)

TUTOR GUÍA

ING. JANETH TORRES TAMAYO.

CRONOGRAMA DE TEMAS A TRATAR DENTRO DEL BLOG

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL, DOMINIO Y RANGO

Se llama función real de variable real a cualquier aplicación f:D→R con  R, es decir,a cualquier correspondencia que asocia a cada elemento de D un único número real.

Habitualmente, la notación que se usa para representar una función es  y = f (x), donde x es la variable independiente,y la variable dependiente y f la aplicación que indica como se obtiene el valor de y conocido el valor d x.

DOMINIO

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.

Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:

f(x) =
 ,

Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

• No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.
• Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.

RANGO

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.

Por ejemplo:

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números positivos.

Al graficar la función se obtiene:

Ilustración 1: Gráfica de función (artigo,2016)

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:

Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.

BIBLIOGRAFÍA:

Jarne, Minguillon, Zabal. (30 de 07 de 2016). Obtenido de http://ocw.unizar.es/ocw/pluginfile.php/71/mod_label/intro/u7funteto.pdf

artigoo. (26 de 07 de 2016). Obtenido de http://artigoo.com/dominio-y-rango-de-una-funcion

RESOLUCIÓN DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE REAL

REPRESENTACIONES DE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES

Este tema, dedicado al estudio sobre las “Representaciones Gráficas de las Funciones”, conviene que sea afrontado por el alumno posteriormente al estudio del tema “Funciones Reales de Variable Real” (dentro de la colección del mismo autor) que inicia al estudio de las funciones . Se pretende ahora enfocar de una forma sencilla e intuitiva, dejando para temas posteriores un enfoque más riguroso, la construcción de la gráfica de una función según el aspecto de esta y dentro de las limitaciones que puede dar ese enfoque intuitivo y superficial que mencionamos, siendo conscientes de que más adelante, una vez concluido el estudio de límites y derivadas de funciones, dicha pretensión será mas completa.

1.Sistema de ejes cartesiano rectangular en el plano.

2.Relación entre los puntos de un plano y el conjunto o  x  o.

3.Coordenadas de un punto del plano.

4.Ejes y cuadrantes.

5.Representación gráfica de una función.

6.Representación gráfica de las funciones polinómicas.

6.1.Representación gráfica de la función cero.

6.2.Representación gráfica de una función constante.

6.3.Representación gráfica de una función polinómica de grado uno.

6.4.Representación gráfica de una función polinómica de grado dos.

6.5.Gráfica de una función polinómica de grado superior a dos.

7.Representación gráfica de funciones cualesquiera.

8.Representación gráfica de funciones racionales fraccionarias.

8.1.Gráfica de las funciones racionales fraccionarias del tipo  y (fx) .=- k/ x

9.Representación gráfica de funciones irracionales y trascendentes.

10.Funciones dadas por intervalos. Gráficas.

11.Función “parte entera de x”. Gráfica.

12.Función “valor absoluto de x”. Gráfica.

BIBLIOGRAFÍA:

(SIETECOLINAS2016)Obtenido de http://www.sietecolinas.es/materiales/mat/GraficFunc.pdf

TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN DE FUNCIONES

DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE LAS GRÁFICAS

y = f(x) + k  ( k > 0)

y = f(x) - k   ( k > 0)

  obtenido dehttps://sites.google.com/site/matematicaportafolio201201/

Observa que la gráfica de y = x² + 2 sube dos unidades desde el origen y la gráfica de

y = x² - 3 baja tres unidades desde el origen.

La gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + k es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si k es positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa. 

 De manera que, la gráfica de y = f(x) + k se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.

obtenido de  https://sites.google.com /site/matematicaportafolio201201/

Observa que la gráfica de y = ( x + 2)²  se mueve dos unidades hacia la izquierda y la gráfica de y = (x - 2)² se mueve dos unidades hacia la derecha.

 La gráfica de y = f(x + h)  es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia la derecha si h es negativa y desplazada hacia la izquierda si h es positiva.  De manera que, la gráfica de y = f( x + h) se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar horizontalmente la gráfica de y = f(x), h unidades hacia la izquierda si h es positiva y h unidades hacia la derecha si h es negativa.

BIBLIOGRAFÍA:

Sanchez. (2012). Matemáticaportafolio2012. Obtenido de 
https://sites.google.com/site/matematicaportafolio201201/

FUNCIONES INYECTIVAS ,SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de como se relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.
Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y)

Figura 1 obtenido en www.universoformulas.com

FUNCIÓN INYECTIVA

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial Xal que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.

Figura 2

Figura 2.obtenido en www.universoformulas.com/

En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:

 Ejemplo de función inyectiva

 La función f(x) = 2x+1 es inyectiva

Figura 3. obtenido en www.universoformulas.com

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

En efecto, si x y y tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Una función f es sobreyectiva , si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Figura 4. obtenido en www.universoformulas.com

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y.

para cada  y de Y ,existe al menos un x en X tal que F(X)= Y

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreinyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y .

Figura 5. obtenido enwww.universoformulas.com/

Teóricamente, una función f es biyectiva si:

Ejemplo de función biyectiva

La función  f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.

Figura 6. obtenido en www.universoformulas.com

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreinyectiva Empezaremos por la condición de inyectividad:

Se cumple la condición de , por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad.

Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.

La función también es sobreyectiva por lo que f es biyectiva.

BIBLIOGRAFÍA:

universo formulas(2016) obtenido de ww.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivas-sobreyectivas-biyectivas/

FUNCIÓN CRECIENTE ,DECRECIENTE,PERIÓDICA Y ACOTADA

FUNCIONES CRECIENTES

Una función es estrictamente creciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y, se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en el punto de abcisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo.

De esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de X

FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo:Una función es estrictamente decreciente en el punto de abcisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente decreciente en el intervalo.

                                   

FIGURA  1

obtenido en http://blogkatherinematematica.blogspot.com/p/blog-page.html

                                        

Figura 2

obtenido en www. e-ducativa.catedu.es

FUNCIÓN PERIÓDICA:

Es una función en la que los valores de la variable dependiente se repiten conforme se va añadiendo a la variable independiente un determinado período.

Diremos que una función f es periódica de periodo T si existe un número real positivo T tal que para cualquier punto x del dominio se verifica f (x +T) = f (x) =f (x -T).

                

Figura 3

obtenido en www.universoformulas.com

FUNCIÓN ACOTADA

Una  función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado,

por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. 

Figura 4

 obtenido en http://l.exam-10.com/other/11689/index.htm

DEFINICION ,DOMINIO RANGO Y APLICACIONES DE FUNCIONES LINEALES

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo dominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales

f(x) = 3x + 2

g(x) = - x + 7

h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Figura 1
Obtenido (http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html)

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7

Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4

Si  x= 98   entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación gráfica de los tres tipos de funciones descritas.

Figura 2
Obtenido (http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html)

EJERCICIO

1.      y = 2x
   Vamos a hacerlo con dos valores de xpara que sepas de donde salen los valores.

       Para x = - 2, y = 2(-2) = -4  quedando la pareja (-2 , -4)

       Para x =  1,  y = 2(1)  =  2   quedando la pareja (1 , 2)

X	y = 2x
-2	-4
-1	-2
0	0
1	2
2	4

FIGURA 2

Figura 3
Obtenido (http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html)

APLICACIONES  DE FUNCIONES LINEALES

En una cuenta de electricidad figura el siguiente detalle:

Arriendo de equipos: ............ $ 581
Cargo fijo: .......... $ 492
Energía base 250 KWH........... $ 15.000

Total ........... $ 16.073

El “arriendo de equipos” y el “cargo fijo” suman $1.073 y la “Energía base” se cobra de acuerdo al consumo. En este ejemplo, como cunsumieron 250 KWH (kilowatts-hora), cuyo valor es $15.000, se concluye que cada KWH cuesta: 15.000: 250 = $60.

De lo anterior se deduce que, para calcular el valor de la cuenta, se debe sumar un cargo fijo de $1.073 más $60 por cada KWH de consumo.

Entonces, en términos generales la cuenta C(k) donde k es el número de KWH de consumo, está dada por la expresión:

C(k)=1073+60k

Esta expresión depende de la cantidad “k” (KWH de consumo), por lo que k es la variable independiente y C(k) es la variable dependiente.

En esta notación, C(3) indica el valor de la cuenta para k = 3:

C(3) = 1073 + 60 . 3 = 1253

Es decir, para un consumo de 3 KWH se tiene una cuenta de $1.253.

Esta función la podemos graficar en un plano cartesiano, donde el eje X (eje de las abscisas) corresponde a la variable independiente y en el eje Y (eje de las ordenadas) corresponde a la variable dependiente.

Para graficar la función del ejemplo, construyamos primero una tabla de valores:

Si graficamos estos valores, obtenemos:

Figura 4
obtendio (https://sites.google.com/site/precalculo321/1--temario/17---problema-de-aplicacion-de-la-funcion-lineal)

Observa que todos los puntos están sobre una recta.

Como veremos más adelante, todas las ecuaciones de la forma: y = mx + n, con m y n constantes reales corresponden a una líneas recta en el plano cartesiano. En este ejemplo: m = 60 y n = 1073.

BIBLIOGRÁFICA

(matefa,2011) Obtenido 

http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html
(sites,2016) Obtenido
https://sites.google.com/site/precalculo321/1--temario/17---problema-de-aplicacion-de-la-funcion-lineal

DEFINICIÓN, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION CUADRÁTICA

Sean a, b y c números reales con a ≠ 0, la función f de R en R cuya regla de correspondencia es f (x) = ax² + bx + c , recibe el nombre de función cuadrática.
Su gráfica corresponde geométricamente a una parábola cóncava hacia arriba o hacia abajo.

FORMA CANÓNICA Y FACTORIZADA

FORMA CANÓNICA

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

    Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se completan cuadrados.

FORMA FACTORIZADA

Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

    se puede factorizar como:

    siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x² sería siempre 1. x₁ y x₂representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x₁ = x₂ por lo que podríamos escribir:

    En este caso a x₁ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

DOMINIO Y RANGO

Como con cualquier función, el dominio de función cuadrática f(x) es el conjunto de los valores de x para los cuales la función esta definida, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f).

Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros como su dominio: cualquier x es una entrada legítima. El rango esta restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo).

EJEMPLO

 Determinar Dominio y Rango de f(x) = x2 - 2x – 3
Tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano:
  

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

Figura 1
Obtenido(http://matematicasdelbachillerato.blogspot.com/p/funciones-dominio-rango-y-graficas.html)

                          

Como podemos ver, la gráfica es una parábola. Este tipo de función se conoce como cuadrática y representa a los polinomios de grado 2. 


Dominio de la función
Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales (siempre tomará valores tanto negativos como positivos en el eje x). 

Dom f(x) = R 

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Note cómo la gráfica empieza a tomar valores en el eje y sólo a partir de un punto determinado. ¨Por lo tanto, en este caso, el rango ya no serán todos los reales. 

Para hallar el Rango, debemos determinar a partir de qué punto la función empieza a tomar valores en el eje y.Esto ocurre en el vértice de la función. 

El vértice  de una función cuadrática se define como (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplazando valores tenemos que -b /2a = (-(-2) / 2(1)) = 1.  Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(1) = 12 - 2(1) – 3 = 1- 2 - 3 = - 4

Por lo tanto, el vértice está en el punto (1, - 4).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4. 

Rango = [– 4 , + ∞ ) 

* El paréntesis cerrado [ o ] significa que el valor está incluido en el intervalo.
* El paréntesis abierto ( o ]) significa que el valor no está incluido en el intervalo.

BIBLIOGRAFIA:

(hotmmatch,2016) Obtenido

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/quadratic-function.html

(sites,2016) Obtenido

https://sites.google.com/site/matematica331/forma-factorizada-y-forma-canonica-de-la-funcion-cuadratica

Matematicadel bachilerrato.2016) Obtenido 

http://matematicasdelbachillerato.blogspot.com/p/funciones-dominio-rango-y-graficas.html