RAÍCES DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA

Una raíz a de una función polinómica es un valor donde f(a)=0

Lo anterior significa que, para encontrar las raíces de la función polinómica f, resolvemos la ecuación f(x)=0.

Recordemos que en la lección resolución de ecuaciones, aprendimos que si A×B=0 entonces A=0 o B=0.

Por lo tanto, necesitamos factorizar f(x), e igualar cada factor a cero. En la lección Factorización por agrupación aprendimos a factorizar polinomios.

Ejemplo :

Encontrar las raíces de la función f x = x 3+ 3 x 2 + 2 x
Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f (x) = x( x+1)( x+2)

Recordemos que si A×B=0 entonces A=0 o B=0. Por lo que:

x = 0             o            x+1 = 0       x = -1               o         x+2 = 0      x = -2

Las raíces de la función f x = x 3 + 3 x 2 + 2 x  son x=0,      x=-1  y   x=-2

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

Figura 1 .obtenido de http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_pol_raiz/fn_pol_right.xhtml

RAÍCES DOBLES Y TRIPLES

Una raíz a de una función polinómica f es una raíz doble si x-a2 es factor de f(x).

Una raíz a de una función polinómica f es una raíz triple si x-a3 es factor de f(x).


Las raíces dobles tienen multiplicidad 2 y las raíces triples tienen multiplicidad 3. Podemos ampliar el concepto para raíces que se repiten multiples veces.

DEFINICIÓN

La multiplicidad de una raíz es el número de veces que la raíz se repite.



Ejemplo :

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + 2 x 2 + x
Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x+12

Por lo que:

x = 0        o             x+1 = 0            x = -1

Las raíces de la función f x = x 3 + 2 x 2 + x son    x=0        y        x=-1

Puedes visualizar estas raíces observando la gráfica de esta función, que es la siguiente:

Figura 2. obtenido de http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_pol_raiz/fn_pol_right.xhtml

 Vemos que el factor (x+1) aparece dos veces. Este genera una raíz doble x=-1. Vemos en la gráfica que la curva toca el eje x pero no lo cruza.

RAÍCES IMAGINARIAS Y COMPLEJAS

Ejemplo :

Encontrar las raíces de la función f x = x 3 + x
Solución:

Buscamos resolver la ecuación f(x)=0. Factorizando la expresión obtenemos:

f x = x x 2 +1

Recordemos que siempre es posible utilizar la fórmula cuadrática cuando es dificil encontrar los factores. De la expresión anterior:

x = 0     o         x 2 +1 = 0       x 2 = -1        x = ± - 1             x = ± i

Las raíces de la función f x = x 3 + x      son      x=0,      x=i     y       x=-i

La gráfica de esta función es la siguiente:

Figura 3.obtenido de http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_pol_raiz/fn_pol_right.xhtml

En la gráfica podemos visualizar la raíz real x=0. Este polinomio tiene una raíz real y dos raíces imaginarias, en total 3 raíces complejas






BIBLIOGRAFÍA :



UPRM. (2016). tuturials_master. Obtenido de http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_pol_raiz/fn_pol_right.xhtml