FUNCIÓN CRECIENTE ,DECRECIENTE,PERIÓDICA Y ACOTADA

FUNCIONES CRECIENTES

Una función es estrictamente creciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y, se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:

Una función es estrictamente creciente en el punto de abcisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo.

De esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de X

FUNCIÓN DECRECIENTE

Una función es estrictamente decreciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo:Una función es estrictamente decreciente en el punto de abcisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente decreciente en el intervalo.

                                   

FIGURA  1

obtenido en http://blogkatherinematematica.blogspot.com/p/blog-page.html

                                        

Figura 2

obtenido en www. e-ducativa.catedu.es

FUNCIÓN PERIÓDICA:

Es una función en la que los valores de la variable dependiente se repiten conforme se va añadiendo a la variable independiente un determinado período.

Diremos que una función f es periódica de periodo T si existe un número real positivo T tal que para cualquier punto x del dominio se verifica f (x +T) = f (x) =f (x -T).

                

Figura 3

obtenido en www.universoformulas.com

FUNCIÓN ACOTADA

Una  función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado,

por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. 

Figura 4

 obtenido en http://l.exam-10.com/other/11689/index.htm

DEFINICION ,DOMINIO RANGO Y APLICACIONES DE FUNCIONES LINEALES

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo dominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales

f(x) = 3x + 2

g(x) = - x + 7

h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Figura 1
Obtenido (http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html)

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7

Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4

Si  x= 98   entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación gráfica de los tres tipos de funciones descritas.

Figura 2
Obtenido (http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html)

EJERCICIO

1.      y = 2x
   Vamos a hacerlo con dos valores de xpara que sepas de donde salen los valores.

       Para x = - 2, y = 2(-2) = -4  quedando la pareja (-2 , -4)

       Para x =  1,  y = 2(1)  =  2   quedando la pareja (1 , 2)

X	y = 2x
-2	-4
-1	-2
0	0
1	2
2	4

FIGURA 2

Figura 3
Obtenido (http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html)

APLICACIONES  DE FUNCIONES LINEALES

En una cuenta de electricidad figura el siguiente detalle:

Arriendo de equipos: ............ $ 581
Cargo fijo: .......... $ 492
Energía base 250 KWH........... $ 15.000

Total ........... $ 16.073

El “arriendo de equipos” y el “cargo fijo” suman $1.073 y la “Energía base” se cobra de acuerdo al consumo. En este ejemplo, como cunsumieron 250 KWH (kilowatts-hora), cuyo valor es $15.000, se concluye que cada KWH cuesta: 15.000: 250 = $60.

De lo anterior se deduce que, para calcular el valor de la cuenta, se debe sumar un cargo fijo de $1.073 más $60 por cada KWH de consumo.

Entonces, en términos generales la cuenta C(k) donde k es el número de KWH de consumo, está dada por la expresión:

C(k)=1073+60k

Esta expresión depende de la cantidad “k” (KWH de consumo), por lo que k es la variable independiente y C(k) es la variable dependiente.

En esta notación, C(3) indica el valor de la cuenta para k = 3:

C(3) = 1073 + 60 . 3 = 1253

Es decir, para un consumo de 3 KWH se tiene una cuenta de $1.253.

Esta función la podemos graficar en un plano cartesiano, donde el eje X (eje de las abscisas) corresponde a la variable independiente y en el eje Y (eje de las ordenadas) corresponde a la variable dependiente.

Para graficar la función del ejemplo, construyamos primero una tabla de valores:

Si graficamos estos valores, obtenemos:

Figura 4
obtendio (https://sites.google.com/site/precalculo321/1--temario/17---problema-de-aplicacion-de-la-funcion-lineal)

Observa que todos los puntos están sobre una recta.

Como veremos más adelante, todas las ecuaciones de la forma: y = mx + n, con m y n constantes reales corresponden a una líneas recta en el plano cartesiano. En este ejemplo: m = 60 y n = 1073.

BIBLIOGRÁFICA

(matefa,2011) Obtenido 

http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html
(sites,2016) Obtenido
https://sites.google.com/site/precalculo321/1--temario/17---problema-de-aplicacion-de-la-funcion-lineal

DEFINICIÓN, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION CUADRÁTICA

Sean a, b y c números reales con a ≠ 0, la función f de R en R cuya regla de correspondencia es f (x) = ax² + bx + c , recibe el nombre de función cuadrática.
Su gráfica corresponde geométricamente a una parábola cóncava hacia arriba o hacia abajo.

FORMA CANÓNICA Y FACTORIZADA

FORMA CANÓNICA

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

    Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se completan cuadrados.

FORMA FACTORIZADA

Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

    se puede factorizar como:

    siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x² sería siempre 1. x₁ y x₂representan las raíces de f(x). En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces x₁ = x₂ por lo que podríamos escribir:

    En este caso a x₁ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

DOMINIO Y RANGO

Como con cualquier función, el dominio de función cuadrática f(x) es el conjunto de los valores de x para los cuales la función esta definida, y el rango es el conjunto de todos los valores de salida (valores de f).

Las funciones cuadráticas generalmente tienen la recta real de enteros como su dominio: cualquier x es una entrada legítima. El rango esta restringido a esos puntos mayores que o iguales a la coordenada en y del vértice (o menores que o iguales a, dependiendo si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo).

EJEMPLO

 Determinar Dominio y Rango de f(x) = x2 - 2x – 3
Tabulamos valores de los pares ordenados x,y para representarlos en el plano cartesiano:
  

Ahora ubicamos cada pareja en el plano y unimos los puntos para obtener la gráfica de nuestra función.

Figura 1
Obtenido(http://matematicasdelbachillerato.blogspot.com/p/funciones-dominio-rango-y-graficas.html)

                          

Como podemos ver, la gráfica es una parábola. Este tipo de función se conoce como cuadrática y representa a los polinomios de grado 2. 


Dominio de la función
Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales (siempre tomará valores tanto negativos como positivos en el eje x). 

Dom f(x) = R 

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Note cómo la gráfica empieza a tomar valores en el eje y sólo a partir de un punto determinado. ¨Por lo tanto, en este caso, el rango ya no serán todos los reales. 

Para hallar el Rango, debemos determinar a partir de qué punto la función empieza a tomar valores en el eje y.Esto ocurre en el vértice de la función. 

El vértice  de una función cuadrática se define como (-b /2a, f(-b, 2a)) reemplazando valores tenemos que -b /2a = (-(-2) / 2(1)) = 1.  Este es el valor de x en el vértice.

Ahora reemplazamos este valor de x en la función original para conocer el valor de y en el vértice:
f(1) = 12 - 2(1) – 3 = 1- 2 - 3 = - 4

Por lo tanto, el vértice está en el punto (1, - 4).

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4. 

Rango = [– 4 , + ∞ ) 

* El paréntesis cerrado [ o ] significa que el valor está incluido en el intervalo.
* El paréntesis abierto ( o ]) significa que el valor no está incluido en el intervalo.

BIBLIOGRAFIA:

(hotmmatch,2016) Obtenido

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/quadratic-function.html

(sites,2016) Obtenido

https://sites.google.com/site/matematica331/forma-factorizada-y-forma-canonica-de-la-funcion-cuadratica

Matematicadel bachilerrato.2016) Obtenido 

http://matematicasdelbachillerato.blogspot.com/p/funciones-dominio-rango-y-graficas.html

EJERCICIOS Y RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

FUNCIONES POLINOMIALES

Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

DEFINICIÓN

P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a2x2+a1x+a0

Donde n es un entero no negativo y los números a0,a1,a2,⋯,an son constantes que se conocen como coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es R=(∞,∞). Si el coeficiente principal an≠0, entonces el grado del polinomio es n.

P(x)=2x6−x4+25x3+2√

Es una función polinomial  de grado 6.

Un polinomio de grado 1 tiene la forma P(x)=mx+b y de este modo es una función lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la forma P(x)=ax2+bx+c se le llama función cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola y=ax2. La parábola se abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo a<0.

Figura 1 obtenido de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funciones_poli_rac_4eso/polinomicas.htm

 Obtenido de : http://creandoelfuturo.net/es/funciones/funciones-algebraicas-funcion-polinomial-racional-radical

APLICACIÓN DE FUNCIONES POLINOMIALES

Tienen una gran aplicación en la elaboración de fenómenos reales como:la concentración de una sustancia de un compuesto, la distancia de un recorrido  de un automóvil a una velocidad constante, la variación de la altura de un proyectil, entre otros.

BIBLIOGRAFÍA

Fernandez, I. (2009). recursostic.education.es. Obtenido de http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funciones_poli_rac_4eso/polinomicas.htm